Les bases du raisonnement par récurrence
Une première approche intuitive pour les élèves de terminale
Pourquoi la récurrence peut sembler étrange ?
Le raisonnement par récurrence donne parfois l’impression d’un tour de magie : on démontre une propriété pour une infinité de cas… en trois étapes bien précises.
L’image des dominos
Imagine une rangée infinie de dominos. Si le premier tombe, et si chaque domino fait tomber le suivant, alors tous les dominos tomberont.
👉 En récurrence :
- le premier domino = initialisation
- le mécanisme = hérédité
- la certitude finale = conclusion
Exemple : somme des termes d’une suite arithmétique
On considère la propriété \( P(n) \) : \[ S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)r) \]
Initialisation (rang 1) :
La formule est vraie pour \( n = 1 \).
La formule est vraie pour \( n = 1 \).
Hérédité :
Si la formule est vraie pour \( n \), alors elle l’est aussi pour \( n+1 \).
Si la formule est vraie pour \( n \), alors elle l’est aussi pour \( n+1 \).
Conclusion :
La propriété \( P(n) \) est vraie au rang d’initialisation \( n = 1 \). Elle est héréditaire.
D’après le principe de récurrence, la formule est donc vraie pour tout entier \( n \geq 1 \).
La propriété \( P(n) \) est vraie au rang d’initialisation \( n = 1 \). Elle est héréditaire.
D’après le principe de récurrence, la formule est donc vraie pour tout entier \( n \geq 1 \).
À retenir
- Une récurrence comporte toujours une conclusion explicite
- On rappelle le rang d’initialisation
- On cite le principe de récurrence pour valider la démonstration
🎯 Une preuve sans conclusion n’est pas une preuve complète.
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